【题解】石子合并

题目：石子合并

题意：

设有 N 堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N 堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4 堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数 N 表示石子的堆数 N。

第二行 N 个数，表示每堆石子的质量(均不超过 1000)。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

1 ≤ N ≤ 300

输入样例：

4
1 3 5 2

输出样例：

22

思路：

• 容易想到，最后一次合并一定是将两堆石子合并为一堆，并且无论怎么分组代价都一样。虽然分组影响不了最后一次合并，但是可以影响合并到最后一步之前的代价，所以我们可以考虑通过遍历不同的分组，找到最后一次合并之前的代价最小值。
• 通过上述分析我们可以发现，任意合并为一堆的两堆都可以通过不同的划分方式来找到最小的代价，那么就得到了状态转移方程： f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]); 其中 f[l][r] 表示从 l 合并到 r 花费的代价。
• 需要注意 f[l][r] 初始化的时机。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string.h>

using namespace std;

const int N=310;

int s[N];//前缀和
int f[N][N];//f[i][j]表示将第i堆到第j堆石子合并的所有方式中代价的最小值
int n;

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i)cin>>s[i],s[i]+=s[i-1];

	//枚举石子堆的长度
    for(int len=2;len<=n;++len)
        for(int i=1;i+len-1<=n;++i)
        {
            //石子堆的起点和终点
            int l=i,r=i+len-1;
            //要在比较f[l][r]之前初始化f[l][r], 因为单独一堆石子是不需要体力的, 如果用memset就破坏了这个条件
            f[l][r]=0x3f3f3f3f;
            //石子堆的分割线
            for(int k=i;k<r;++k)
                f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
        }

    cout<<f[1][n];
    return 0;
}